Ο Στέλιος Μηγιάκης γεννήθηκε στις 5 Μαΐου 1952 στο Ρέθυμνο και μεγάλωσε στην Αθήνα.
Ασχολήθηκε με την Ελληνορωμαϊκή από το 1968 ενώ ήδη εργαζόταν.
Το 1970 σε ηλικία 18 χρόνων αναδείχθηκε πρωταθλητής Ελλάδας στην κατηγορία των 52 κιλών. Ακολούθησαν άλλα πέντε χρυσά μετάλλια σε πανελλήνια πρωταθλήματα, το 1974, 1975, 1976, 1978 και 1979 στην κατηγορία των 62 κιλών.
Έλαβε μέρος στους Ολυμπιακούς αγώνες του 1972 (Μόναχο) και 1976 (Μόντρεαλ) χωρίς να διακριθεί.
Η διάκριση ήρθε το 1980 στους Ολυμπιακούς στη Μόσχα όπου κατέκτησε το χρυσό μετάλλιο και έγινε ο πρώτος Έλληνας χρυσός Ολυμπιονίκης στην Ελληνορωμαϊκή πάλη.
Ακόμη ο Στέλιος Μηγιάκης αναδείχθηκε πρωταθλητής Ευρώπης το 1979, ενώ στην ίδια διοργάνωση κατέκτησε το ασημένιο μετάλλιο το 1972 και 1975. Ήταν 4ος στον κόσμο το 1974, 1979 και 5ος το 1978.
Το 1983 αναδείχθηκε χρυσός μεσογειονίκης και την ίδια χρονιά κατέκτησε το ασημένιο μετάλλιο στο παγκόσμιο κύπελλο. Έκλεισε την καριέρα του στην Ολυμπιάδα του 1984 χωρίς να διακριθεί.
Ο Στέλιος Μηγιάκης αγωνιζόταν ως ερασιτέχνης, δεν είχε σπόνσορες και οικονομική υποστήριξη από κανένα. Ως ανταμοιβή για τις υπηρεσίες του στον ελληνικό αθλητισμό η Πολιτεία του πρόσφερε μια άδεια για βενζινάδικο την οποία εκείνος επέστρεψε αργότερα στην πετρελαϊκή εταιρεία. Από το 1987 έως το 1990 εργάστηκε στην εθνική ομάδα ως ομοσπονδιακός προπονητής.
